皆さん、世界一美しい数式は何ですか？
数学をやっている人なら、かなりの確率でこう答えると思います。
「e^iπ + 1 = 0」
そう、かの有名なオイラーの等式です。
なぜ美しいか、それは後半でも話しますが、軽く言うと、
実数と虚数が一つの式で繋がっている
加法の基本の0と乗法の基本の1でできている
などがあります。
また、この記事では、必要な数学の知識があります。それは、以下のリンクをご覧ください。
〈後出のオイラーの等式の理解〉
ネイピア数eについて
三角関数について
随時公開予定
〈後出のオイラーの公式の証明〉
微分方程式（証明方法①）
随時公開予定
テイラー展開（証明方法②）
随時公開予定
ということで、このオイラーの等式は、どうやって導くのでしょうか。
ここで、まずオイラーの公式について話ます。
オイラーの公式とは、次のものです。
e^iθ = cosθ + i sinθ
何とも不思議な式です。
これに、θ=πを代入すると、
cosπ=-1 , sinπ=0 だから、
e^iθ=-1 となり、移行すると最初のオイラーの等式に辿り着きます。
つまり、
e^iθ = cosθ + i sinθ が証明できればオイラーの等式を導けるのです。
では、このオイラーの公式の証明について書きたいと思います。
まず、右辺がややこしいですね。だから、右辺から始めましょう。
y = cosθ + i sinθ とおく。
三角関数ですね。三角関数といえば、微分でしょうか。ということで、微分してみます。
y’ = -sinθ + i cosθ
ここで、iの定義を思い出してください。i^2=-1ですよね。よってこの式は、
y’ = i^2 sinθ + i cosθ = i(cosθ + i sinθ) = i y
これがこの証明方法の大きなポイントです。
右辺を微分したものと、右辺に虚数単位iをかけたものは等しいのです。
よって、以下の式が成り立ちます。
y'/y = i
あとは、両辺をθで積分するだけです。
∫ y'/y dθ = ∫ i dθ
log |y| = iθ
y = e^iθ
最初に、y = cosθ + i sinθ とおきました。よって、以下のオイラーの公式が導出されます。
e^iθ = cosθ + i sinθ
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